Fase-typen fordeling

Nicholas Hansen August 8, 2016 F 1 0
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc

Et fase-typen fordeling er en sandsynlighedsfordeling konstrueret af en foldning af eksponentielle distributioner. Det resulterer fra et system med en eller flere indbyrdes forbundne Poisson processer, der forekommer i rækkefølge eller faser. Den rækkefølge, hvori hver af faserne forekommer kan selv være en stokastisk proces. Fordelingen kan repræsenteres ved en stokastisk variabel beskriver tiden indtil absorption af en Markov-processen med en absorberende tilstand. Hver af de stater i Markov processen repræsenterer en af ​​de faser.

Den har en diskret tid svarer den diskrete fase-typen distribution.

Sættet af fase-type fordelinger er tæt på området for alle positive værdsat distributioner, det vil sige, det kan bruges til at tilnærme nogen positiv-værdsat fordeling.

Definition

Overvej en kontinuerlig tid Markov proces med M + 1 stater, hvor m ≥ 1, således at staterne 1, ..., m er forbigående tilstande og stat 0 er en absorberende tilstand. Endvidere lade processen have en oprindelig sandsynligheden for at starte i nogen af ​​de M + 1 faser givet af sandsynligheden vektor, hvor α0 er en skalar og α er en 1 × m vektor.

Den kontinuerlige fase-typen fordelingen er fordelingen af ​​tiden fra den ovennævnte proces s start indtil absorption i den absorberende tilstand.

Denne proces kan skrives i form af en overgang sats matrix,

hvor S er en m × m matrix og S = -S1. Her 1 betegner en m × 1 vektor med hvert element er 1.

Karakterisering

Fordelingen af ​​tid X indtil processen når den absorberende tilstand siges at være fase-typen fordelt og betegnes PH.

Fordelingsfunktionen for X er givet ved,

og tæthedsfunktionen,

for alle x & gt; 0, hvor exp matrix eksponentialfunktion. Det er normalt antages at sandsynligheden for processen starter i den absorberende tilstand er nul. De øjeblikke af funktionen fordeling er givet ved

Særlige tilfælde

Følgende fordelinger sandsynlighed er alle betragtes som særlige tilfælde af en kontinuerlig fase-typen fordeling:

  • Degenereret distribution, punkt masse på nul eller den tomme fase-typen distribution - 0 faser.
  • Eksponentiel distribution - 1 fase.
  • Erlang distribution - 2 eller flere identiske faser i rækkefølge.
  • Deterministisk fordeling - Den begrænsende tilfælde af en Erlang distribution, da antallet af faser bliver uendelig, mens tiden i hver tilstand bliver nul.
  • Coxian distribution - 2 eller flere faser i rækkefølge, med en sandsynlighed på overgangen til den afsluttende / absorberende tilstand efter hver fase.
  • Hyper-eksponentiel distribution - 2 eller flere ikke-identiske faser, som hver har en sandsynlighed for at forekomme i en gensidigt udelukkende, eller parallel, måde.
  • Hypoexponential distribution - 2 eller flere faser i rækkefølge, kan være ikke-identiske eller en blanding af identiske og ikke-identiske faser, generaliserer Erlang.

Som fase-typen fordeling er tæt på området for alle positive værdsat distributioner, kan vi repræsentere nogen positiv værdsat fordeling. Men den fase-typen er en lys-tailed eller platikurtic fordeling. Så repræsentationen af ​​heavy-tailed eller leptokurtic fordeling af fase type er en tilnærmelse, selv om præcision tilnærmelse kan være så godt, som vi ønsker.

Eksempler

I alle de følgende eksempler antages det, at der ikke er nogen sandsynlighed masse på nul, dvs. α0 = 0.

Eksponentialfordeling

Den enkleste ikke-trivielle eksempel på en fase-typen fordeling er den eksponentielle fordeling af parameter λ. Den parameter i fase-typen fordelingen er: S = -λ og α = 1.

Hyper-eksponentiel eller en blanding af eksponentiel fordeling

Blandingen af ​​eksponentielle eller hyper-eksponentiel fordeling med λ1, λ2, ..., λn & gt; 0 kan repræsenteres som en fase typen fordeling med

med og

Denne blanding af tætheder af eksponentielle stokastiske variable kan karakteriseres gennem

eller dens kumulative fordelingsfunktion

med

Erlang fordeling

Den Erlang fordeling har to parametre, formen et heltal k & gt; 0 og satsen λ & gt; 0. Dette er undertiden betegnes E. Erlang fordeling kan skrives i form af en fase-typen fordeling ved at gøre S ak × k matrix med diagonale elementer -A og super-diagonale elementer λ, med sandsynligheden for at starte i tilstand 1 lig med 1. For eksempel E,

og

For et givet antal faser, Erlang fordelingen er fasetype fordeling med mindste variationskoefficient.

Den hypoexponential fordeling er en generalisering af Erlang distributionen ved at have forskellige satser for hver overgang.

Blanding af Erlang fordeling

Blandingen af ​​to Erlang fordeling med parameter E, E og kan repræsenteres som en fasetype fordeling med

og

Coxian fordeling

Den Coxian fordeling er en generalisering af hypoexponential. I stedet for kun at kunne komme ind i absorberende tilstand fra stat k det kan nås fra enhver fase. Den fase-typen repræsentation er givet ved,

og

hvor 0 & lt; p1, ..., pk-1 ≤ 1. I tilfælde, hvor alle pi = 1 har vi hypoexponential distribution. Den Coxian fordeling er yderst vigtigt som enhver acykliske fase-typen fordeling har en tilsvarende Coxian repræsentation.

Den generaliserede Coxian fordeling afslapper tilstand, der kræver starter i den første fase.

Generering prøver fra fase-typen fordelt stokastiske variable

BuTools omfatter metoder til at generere prøver fra fase-type stokastiske variable.

Tilnærme andre distributioner

Enhver fordeling kan vilkårligt godt tilnærmes ved en fase typen fordeling. Men i praksis kan tilnærmelser være fattig, når størrelsen af ​​approksimerende proces er fast. Tilnærme en deterministisk fordeling af tiden 1 med 10 faser, der hver gennemsnitlig længde 0,1 vil have varians 0.1.

  • BuTools en MATLAB og Mathematica script til montering fase-type udlodninger til 3 angivne øjeblikke
  • momentmatching en MATLAB script til at passe en minimal fase-typen distribution til 3 angivne øjeblikke

Montering en fase typen distribution til data

Metoder til at passe en fase typen distribution til data kan klassificeres som maksimum likelihood metoder eller øjeblik matchende metoder. Montering af fasetype distribution til tunge-tailed distributioner har vist sig at være praktisk i nogle situationer.

  • PhFit en C-script til montering diskrete og kontinuerte fase typen udlodninger til data
  • EMpht er en C-script til montering fase-type udlodninger til data eller parametriske distributioner benytter en forventning-maksimering algoritme.
  • HyperStar blev udviklet omkring kernen idéen om at gøre fase-typen montering enkel og brugervenlig, for at fremme brugen af ​​fase-type fordelinger i en lang række områder. Det giver en grafisk brugergrænseflade og giver god montering resultater med kun lidt brugerinteraktion.
  • jPhase er en Java bibliotek, som også kan beregne målinger for køer ved hjælp af den monteret fase typen fordeling
  Like 0   Dislike 0
Forrige artikel Tandag
Næste artikel Vasant Rai
Kommentarer (0)
Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha