Ortogonale bane

Hanne Frische August 8, 2016 O 0 0
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc

I matematik, ortogonale baner er en familie af kurver i det plan, som skærer en given familie af kurver vinkelret. Problemet er klassisk, men er nu forstås ved hjælp af kompleks analyse; se for eksempel harmoniske konjugat.

For en familie af kurver niveau beskrevet af, hvor er en konstant, de ortogonale baner kan findes som det niveau kurver af en ny funktion ved at løse partiel differentialligning

for. Dette er bogstaveligt talt en erklæring om, at stigninger på funktionerne er ortogonale. Bemærk, at hvis og er funktioner af tre variable i stedet for to, ovenfor ligningen bliver lineær og vil angive ortogonale overflader.

Den delvise differentialligning kan undgås ved i stedet at sidestille tangens af en parametrisk kurve med gradient af:

hvilket vil resultere i to eventuelt koblede ordinære differentialligninger, hvis løsninger er de ortogonale baner. Bemærk, at med denne formel, hvis er en funktion af tre variable sine nivåmængderne er overflader, og familien af ​​kurver er vinkelret på overfladerne.

Eksempel: cirkel

I polære koordinater, familien af ​​cirkler centreret om oprindelsen er det niveau kurver af

hvor er cirklens radius. Så ortogonale baner er det niveau kurver af defineret ved:

Manglen på fuldstændige randdata forhindrer at bestemme. Men vi ønsker, at vores ortogonale baner til at spænde hvert punkt på hver cirkel, hvilket betyder, at skal have et område, som i det mindste omfatte en periode med rotation. Således til det niveau kurver af, med frihed vælge en, er alle de kurver, der skærer cirkler, som er lige linjer, der passerer gennem nulpunktet. Bemærk, at dot produkt tager næsten den velkendte form siden polære koordinater er ortogonale.

Fraværet af grænsen data er en god ting, da det gør at løse PDE simpelt som man ikke behøver at vride løsningen på enhver grænse. Generelt er det dog skal sikres, at alle banerne er fundet.

  Like 0   Dislike 0
Forrige artikel Persoonia rigida
Næste artikel Stars and Stripes
Kommentarer (0)
Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha