Repræsenteres functor

Kurt Bratt Juli 25, 2016 R 3 0
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc

I matematik, især kategori teori, en repræsenteres functor er en functor af en særlig form fra en vilkårlig kategori i kategorien af ​​sæt. Sådanne functors giver repræsentationer af en abstrakt i form af kendte konstruktioner tillader en at udnytte så meget som muligt, viden om kategorien af ​​sæt i andre sammenhænge.

Fra et andet synspunkt repræsenteres funktorer for et kategori C er de funktorer givet med C. Deres teori er et stort generalisering af øvre sæt i Posets, og Cayley sætning i gruppe teori.

Definition

Lad C være en lokalt lille kategori og lad Indstil være den kategori af sæt. For hvert objekt A C lad Hom være hom functor der knytter objekter X til den indstillede Hom.

En functor F: C → Indstil siges at være repræsenteres hvis det er naturligt isomorf til Hom for en genstand A i C. En repræsentation af F er et par, hvor

er en naturlig isomorfi.

En kontravariant functor G fra C til Set er det samme som en functor G: C → Set og kaldes almindeligvis en presheaf. En presheaf er repræsenteres, når det er naturligt isomorf til kontravariant hom-functor Hom for nogle objekt A i C.

Universal elementer

Ifølge Yoneda s lemma, naturlige transformationer fra Hom til F er i en-til-en korrespondance med de elementer af F. givet en naturlig transformation Φ: Hom → F det tilsvarende element u ∈ F er givet ved

Omvendt givet nogen element u ∈ F kan vi definere en naturlig transformation Φ: Hom → F via

hvor f er et element af Hom. For at få en repræsentation af F vi ønsker at vide, når den naturlige transformation fremkaldt af u er en isomorfi. Dette fører til følgende definition:

En universel element kan betragtes som en universel morphism fra en-point sæt {•} til functor F eller som et første objekt i den kategori af elementer i F.

Den naturlige transformation induceret af et element u ∈ F er en isomorfi hvis og kun hvis er et universelt element F. Vi konkluderer derfor, at repræsentationer af F er i en-til-en korrespondance med de universelle elementer F. Af denne grund er det er almindeligt at henvise til universelle elementer som repræsentationer.

Eksempler

  • Overvej kontravariant functor P: Set → Indstil der kortlægger hvert sæt til sin magt sæt og hver funktion til dens inverse billede kort. At repræsentere denne functor må vi et par, hvor A er et sæt, og u er en delmængde af A, dvs. et element af P, således at der for alle sæt X, HOM-sæt Hom er isomorf til P via ΦX = u f =. Take A = {0,1} og U = {1}. Givet en delmængde S ⊆ X den tilsvarende funktion fra X til A er den karakteristiske funktion af S.
  • Glemsomme funktorer at indstille meget ofte repræsenteres. Især er en glemsom functor repræsenteret ved når A er et frit objekt over en ugifte sæt med generator u.
    • Den glemsom functor Grp → Set på den kategori af grupper er repræsenteret ved.
    • Den glemsom functor Ring → Set på den kategori af ringene er repræsenteret ved, polynomiet ring i en variabel med heltal koefficienter.
    • Den glemsom functor vect → Set på den kategori af reelle vektorrum er repræsenteret ved.
    • Den glemsom functor Top → Set på den kategori af topologiske rum er repræsenteret ved en hvilken som helst ugifte topologisk rum med sin unikke element.
  • En gruppe G kan betragtes som en kategori med et objekt, som vi betegne som •. En functor fra G til Indstil derefter svarer til en G-sæt. Den unikke hom-functor Hom fra G til Set svarer til den kanoniske G-sæt G med virkningen af ​​venstre multiplikation. Standard argumenter fra gruppe teori viser, at en functor fra G til Set er repræsenteres hvis og kun hvis den tilsvarende G-sæt er simpelthen transitive. At vælge en repræsentation udgør vælge en identitet for den bunke.
  • Lad C være den kategori af CW-komplekser med morfier givet af homotopi klasser af kontinuerte funktioner. For hvert naturligt tal n der er en kontravariant functor H: C → Ab, som tildeler hver CW-kompleks sin n cohomology gruppe. Komponere dette med den glemsomme functor vi har en kontravariant functor fra C til Set. Browns gengives sætning i algebraisk topologi siger, at dette functor er repræsenteret ved en CW-kompleks K kaldes en Eilenberg-Mac Lane rum.

Egenskaber

Entydighed

Repræsentationer af funktorer er unikke op til en unik isomorfi. Det vil sige, hvis og repræsenterer den samme functor, så der findes en unik isomorfi φ: A1 → A2, således at

som naturlige isomorfier fra Hom til Hom. Dette faktum følger let fra Yoneda lemma.

Angives i universelle elementer: hvis og repræsentere den samme functor, så der findes en unik isomorfi φ: A1 → A2 således at

Bevarelse af grænser

Repræsenteres funktorer er naturligvis isomorf til hom funktorer, og derfor deler deres egenskaber. Især repræsenteres funktorer bevare alle grænser. Heraf følger, at enhver functor som undlader at bevare nogle grænse er ikke repræsenteres.

Kontravariant repræsenteres funktorer tage colimits til grænser.

Venstre adjungerede

Enhver functor K: C → Sæt med en venstre adjoint F: Set → C er repræsenteret ved), hvor X = {•} er en singleton sæt og η er den enhed af adjunction.

Omvendt, hvis K er repræsenteret ved et par, og alle små copowers af A eksisterer i C derefter K har en venstre adjoint F, som sender hvert sæt I til den i'te copower A.

Derfor, hvis C er en kategori med alle små copowers, en functor K: C → Set er repræsenteres hvis og kun hvis den har en venstre adjungerede.

Relation til universelle morfier og adjoints

De kategoriske forestillinger om universelle morfier og adjungerede funktorer kan både udtrykkes ved hjælp repræsenteres funktorer.

Lad G: D → C være en functor og lad X være genstand for C. Så er en universel morphism fra X til G hvis og kun hvis er en repræsentation af functor HomC fra D til Set. Heraf følger, at G har en venstre-adjungerede F hvis og kun hvis HomC er repræsenteres for alle X i C. Den naturlige isomorfi ΦX: HomD → HomC giver den adjointness; det er

er en bijection for alle X og Y.

Den dobbelte udsagn er også sandt. Lad F: C → D være en functor og lad Y være genstand for D. Så er en universel morphism fra F til Y hvis og kun hvis er en repræsentation af functor HomD fra C til Set. Heraf følger, at F har en højre-adjoint G hvis og kun hvis HomD er repræsenteres for alle Y i D.

  Like 0   Dislike 0
Forrige artikel Stuart Gulliver
Næste artikel St. Louis Woman
Kommentarer (0)
Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha