Subharmonisk funktion

Iben Poincaré August 8, 2016 S 2 0
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc

I matematik, subharmoniske og superharmonic funktioner er vigtige klasser af funktioner, der anvendes i udstrakt grad i partielle differentialligninger, kompleks analyse og potentielle teori.

Intuitivt er subharmoniske funktioner relateret til konvekse funktioner af én variabel som følger. Hvis grafen for en konveks og en linje skærer hinanden i to punkter, så grafen for den konveks er under linjen mellem disse punkter. På samme måde, hvis værdierne af en subharmonisk funktion ikke er større end værdierne i et harmonisk funktion på grænsen af ​​en kugle, er værdierne af subharmoniske funktion ikke er større end værdierne for den harmoniske funktion også inde bolden .

Superharmonic funktioner kan defineres ved samme beskrivelse, kun erstatte "ikke større" med "ikke mindre". Alternativt en superharmonic funktion er kun det negative af en subharmonisk funktion, og derfor enhver ejendom af subharmoniske funktioner kan let overføres til superharmonic funktioner.

Formel definition

Formelt kan definitionen angives som følger. Lad være en delmængde af euklidisk rum og lad

være en øvre semi-kontinuert funktion. Derefter kaldes subharmonisk hvis for enhver lukkede kugle af centrum og radius er indeholdt i, og hver real-værdsat kontinuert funktion på det er harmonisk i og opfylder for alle på grænsen af, vi har for alle

Bemærk, at med den ovennævnte, den funktion, som er identisk -∞ er subharmonisk, men nogle forfattere udelukke denne funktion ved definition.

En funktion kaldes superharmonic hvis er subharmonisk.

Egenskaber

  • En funktion er harmonisk, hvis og kun hvis det er både subharmonisk og superharmonic.
  • Hvis er C på en åben sæt i, så er subharmonisk hvis og kun hvis man har
  • Den maksimalt en subharmonisk funktion ikke kan opnås i det indre af sit domæne, medmindre funktionen er konstant, dette er den såkaldte maksimale princip. Imidlertid kan et minimum af en subharmonisk funktion opnås i det indre af sit domæne.
  • Subharmoniske funktioner gør en konveks kegle, det er, er en lineær kombination af subharmoniske funktioner med positive koefficienter er også subharmonisk.
  • Den maksimalt to subharmoniske funktioner punktvis er subharmonisk.
  • Grænsen for en faldende sekvens af subharmoniske funktioner er subharmonisk.

Subharmoniske funktioner i komplekse plan

Subharmonisk funktioner er af særlig betydning i kompleks analyse, hvor de er tæt forbundet med holomorfe funktioner.

Man kan vise, at en real-værdsat, kontinuert funktion af en kompleks variabel defineret på et sæt er subharmonisk hvis og kun hvis for enhver lukkede skive af centrum og radius man har

Intuitivt, betyder det, at en subharmonisk funktion er på ethvert punkt ikke er større end gennemsnittet af værdierne i en cirkel omkring det punkt, hvilket kan anvendes til at udlede den maksimale princip.

Hvis er en holomorf funktion, så

er en subharmonisk funktion, hvis vi definerer værdien på nuller af at være -∞. Heraf følger, at

er subharmonisk for hver α & gt; 0. Denne observation spiller en rolle i teorien om Hardy rum, især til undersøgelse af H, når 0 & lt; p & lt; 1.

I forbindelse med den komplekse plan, kan forbindelsen til de konvekse funktioner realiseres såvel af, at en subharmonisk funktion på et domæne, der er konstant i den imaginære retning er konveks i den virkelige retning og vice versa.

Harmoniske majorants af subharmoniske funktioner

Hvis er subharmonisk i et område i den komplekse plan, og er harmonisk på, så er et harmonisk majorant af i, hvis ≤ i. En sådan ulighed kan ses som en vækstbetingelse på.

Subharmoniske funktioner i enheden disken. Radial maksimal funktion

Lad φ være subharmonisk, kontinuerlig og ikke-negative i en åben delmængde Ω af komplekse plan indeholdende lukket enhed disk D. Den radiale maksimale funktion for funktionen φ er defineret på enhedscirklen af

Hvis Pr betegner Poisson-kernen, følger det subharmonicity som

Det kan vises, at det sidste integral er mindre end værdien ved e af Hardy-Littlewood maksimal funktion φ af begrænsningen af ​​φ til enhedscirklen T,

således at 0 ≤ M φ ≤ φ. Det er kendt, at Hardy-Littlewood operatør er afgrænset på L, når 1 & lt; p & lt; ∞. Heraf følger, at for nogle universelle konstant C,

Hvis f er en funktion holomorf i Ω og 0 & lt; p & lt; ∞, så den foregående ulighed gælder for Ø = | f |. Det kan udledes af disse kendsgerninger, at enhver funktion F i de klassiske Hardy plads H opfylder

Med mere arbejde, kan det vises, at F har radiale grænser F næsten overalt på enhedscirklen, og at Fr, defineret ved Fr = F tendens til F i L.

Subharmoniske funktioner på Riemannske mangfoldigheder

Subharmoniske funktioner kan defineres på en vilkårlig Riemannsk manifold.

Definition: Lad M være en Riemannsk manifold, og en øvre semikontinuerligt funktion. Antag, at for enhver åben delmængde, og enhver harmonisk funktion F1 på U, således at der ved grænsen af ​​U, ulighed gælder for alle U. Derefter f kaldes subharmonisk.

Denne definition svarer til et givet ovenfor. Også for to gange differentiable funktioner, subharmonicity svarer til ulighed, hvor er den sædvanlige Laplace.

  Like 0   Dislike 0
Forrige artikel SuperWaba
Kommentarer (0)
Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha